Risoluzione

Si tratta di individuare il piano di regressione che separa i modelli superiori da quelli inferiori nello spazio delle qualità considerate. Siano (x_i, y_i), i = A, B, C, D, E i punti che caratterizzano i modelli nello spazio delle qualità (RAM, frequenza), e sia z_i il prezzo corrispondente. Rappresentiamo il piano di regressione con l’equazione:

z = a₀ + a₁x + a₂y

Indicata con d_i la distanza del piano dal punto (x_i, y_i, z_i), si ha

d_i = |z_i – (a₀ + a₁x_i + a₂y_i)|

Il piano di regressione per definizione si trova a distanza minima rispetto al prezzo dei punti del campione. L’obiettivo è dunque calcolare i tre parametri a₀, a₁, a₂ come soluzione ottima del seguente problema di programmazione non lineare:

min d_A + d_B + d_C + d_D + d_E

d_i = |z_i – (a₀ + a₁x_i + a₂y_i)| per i = A, B, C, D, E

Linearizzando il valore assoluto, il problema si trasforma nel seguente modello di PL:

min d_A + d_B + d_C + d_D + d_E

d_i > z_i – (a₀ + a₁x_i + a₂y_i)

d_i > (a₀ + a₁x_i + a₂y_i) – z_i per i = A, B, C, D, E

cioè

min d_A + d_B + d_C + d_D + d_E

d_A + a₀ + 500a₁ + 400a₂ > 1270 d_A – a₀ – 500a₁ – 400a₂ > –1270

d_B + a₀ + 400a₁ + 500a₂ > 1250 d_B – a₀ – 400a₁ – 500a₂ > –1250

d_C + a₀ + 300a₁ + 450a₂ > 1200 d_C – a₀ – 300a₁ – 450a₂ > –1200

d_D + a₀ + 400a₁ + 500a₂ > 1390 d_D – a₀ – 400a₁ – 500a₂ > –1390

d_E + a₀ + 300a₁ + 400a₂ > 1180 d_E – a₀ – 300a₁ – 400a₂ > –1180

Risolvendo il problema (vedi Esercizio_1.xls) si ottiene

a₀ = 885 a₁ = 0,45 a₂ = 0,4

e quindi l’equazione del piano di regressione è

z = 885 + 0,45x + 0,4y

Si ricava allora, per esempio, che il prezzo giusto per il modello B dovrebbe essere z(B) = 885 + 0,45×400 + 0,4×500 = 1265: tale prezzo è superiore a quello richiesto, dunque tale modello può essere considerato migliore (almeno in quest’analisi qualità prezzzo). Ripetendo il calcolo si scopre i prezzi dei modelli A, C ed E coincidono con quelli “ideali”, mentre quello di D si rivela superiore. Pertanto

Soluzione: modelli migliori |A|B|C|D|E| altri modelli |A|B|C|D|E|