Prova scritta di Ricerca
Operativa
del 4 febbraio 2002
Un’azienda casearia vuole
immettere sul mercato un nuovo tipo di latte ad alta qualità, denominato LAQ.
Per essere definito “latte ad alta qualità”, il latte deve avere le seguenti
caratteristiche nutrizionali:
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Proteine |
almeno 32 g/litro |
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Grassi |
almeno 45 g/litro |
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Carboidrati |
almeno 36 g/litro |
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Calcio |
almeno 1.3 g/litro |
Il latte LAQ si ottiene
dalla miscelazione di tre diversi tipi di latte prodotti dall’azienda: L1, L2 e
L3, che hanno le seguenti caratteristiche nutrizionali (espresse sempre in
grammi/litro).
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L1
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L2 |
L3 |
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Proteine |
31 |
35 |
32 |
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Grassi |
48 |
40 |
50 |
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Carboidrati |
35 |
38 |
32 |
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Calcio |
1.2 |
1.5 |
1.4 |
I costi di produzione al litro dei tre tipi di latte sono:
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L1: € 0.50 |
L2: € 0.60 |
L3: € 0.40 |
Domanda 1.
Calcolare in quali proporzioni vanno miscelati i tre tipi di latte per ottenere il latte LAQ a costo minimo.
Domanda 2.
Calcolare la miscela di costo minimo nel caso in cui la quantità minima di Carboidrati viene diminuita a 34 g/litro.
Soluzione
Sia
xLi una variabile compresa fra 0 e 1, indicante la frazione
del latte di tipo i presente in LAQ.
Il
problema può essere formulato come segue
min 0.5 xL1 + 0.6 xL2
+ 0.4 xL3
st
Proteine: 31 xL1 + 35
xL2 + 32 xL3>
32
Grassi:
48 xL1 + 40 xL2 + 50 xL3 > 50
Carboidrati:
35 xL1 + 38 xL2 + 32 xL3
> 36
Calcio:
1.2 xL1 + 1.5 xL2 +
1.4 xL3 > 1.3
Miscelazione:
xL1 + xL2 + xL3
= 1
xLi > 0 per i
= 1, 2, 3
Risolvendo
con uno dei metodi noti si ottiene che la soluzione ottima è (2/3, 1/3, 0) di valore 0.533
Cambiando
il RHS del vincolo sui carboidrati si ottiene invece (2/5, 7/15, 2/15).