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prova scritta del 27 gennaio1999

Come gli struzzi, Zeman non vuol vedere i difetti della propria squadra. Provate ad aiutarlo.

Ogni squadra di calcio adotta un modulo che per semplicità supponiamo posto nella forma (d, c, a), dove d (rispettivamente, c, a) indica il numero di difensori (rispettivamente, centrocampisti, attaccanti) normalmente utilizzati durante il gioco. Come vi avranno insegnato illustri docenti come il dr. prof. Ph.D. dr. hon.c. Tosatti, nel calcio moderno si fa grande uso di statistiche, in base alle quali si può dare per noto il quantitativo medio di chilometri totalizzato nel derby dai giocatori (romanisti e laziali) che presidiano le singole zone di cui sopra. Ovviamente, più folto è il reparto, minore il quantitativo di strada che ciascun giocatore è chiamato a percorrere. Un primo obiettivo di un tecnico ragionevole (se Zeman potesse dirsi tale) sarebbe dunque quello di individuare il modulo di gioco più equilibrato, vale a dire quello che ripartisce al meglio i carichi di fatica dei giocatori.

Ora, il campo può essere diviso in tre fasce di lunghezza x_d, x_c, x_a. Ipotizzando che il numero di chilometri percorsi da un reparto sia proporzionale secondo un fattore k_i (i = d, c, a) alla lunghezza della fascia di competenza, e che mediamente ciascun giocatore della difesa (rispettivamente, del centrocampo, dell’attacco) non possa percorrere più di 4, 7 e 3 chilometri, formulare il problema di determinare il numero di giocatori in ciascun reparto in modo che la maggior parte del terreno di gioco risulti coperta. Risolvere il problema formulato tramite il metodo del simplesso supponendo k_d = 1, k_c = 1, k_a = 2 e ricordando che nessuno (tranne forse uno) sarebbe così struzzo da far scendere la squadra in campo con meno di 3 difensori, o più di 5 centrocampisti, o meno di 1 attaccante.

Esistono per caso due matrodi grafici tra loro isomorfi ma corrispondenti a grafi non isomorfi? Se sì, mostrateli; se no, spiegate perché.